[toggle title=”فعالیت 4-4 فیزیک دهم” state=”open”]ورقه ای فلزی و مستطیلی شکل به اضلاع a1 و b1 را در نظر بگیرید. بر اثر افزایش دمای T∆ ، طول اضلاع مستطیل به اندازه a∆ و b∆ افزایش می یابند. اگر ضریب انبساط طولی ورقه α باشد، نشان دهید که افزایش مساحت این ورقه با تقریب مناسب از رابطه A = 2A₁α∆T∆ به دست می آید.[/toggle]

ابتدا برای اینکه ذهنیت واضحی از مسئله پیدا کنیم شکل هندسی مستطیل را قبل و بعد از افزایش دما رسم می کنیم که به شکل زیر خواهد بود :

[divider style=”dashed” top=”20″ bottom=”20″]

مستطیل اولیه :

مستطیل ثانویه :

[divider style=”dashed” top=”20″ bottom=”20″]

مساحت مستطیل قبل از افزایش دما :

A₁=a₁*b₁    

مساحت مستطیل بعد از افزایش دما به صورت زیر خواهد بود :

A₂=a₂ * b₂ = (a₁ + ∆a)( b₁ + ∆b) = a₁b₁ + a₁∆b + b₁∆a + ∆a∆b

در انبساط طولی داریم که :

L =αL₁∆T∆

در نتیجه می توانیم a∆ و b∆  را طبق فرمول فوق، بدست بیاوریم :

با جایگذاری دو رابطه بالا در فرمول مساحت مستطیل ثانویه داریم :

A₂ = a₁b₁ + a₁ b₁α∆T + b₁ a₁α∆T + a₁α∆T b₁α∆T 

در نتیجه بعد از ساده سازی رابطه فوق و جایگذاری    A₁=a₁b_{1  داریم :} 

A₂ = A₁ + A₁α∆T + A₁α∆T + A₁(α∆T)²

تقریب مورد استفاده : ضریب انبساط طولی یک مقدار اعشاری بسیار کوچک است. حال اگر به توان 2 برسد کوچکتر هم می شود، بنابراین می توانیم از عبارت A₁(α∆T)² صرف نظر کنیم(آن را صفر در نظر بگیریم). لذا داریم :

A₂ = A₁ + A₁α∆T + A₁α∆T

A₂ – A₁ = 2A₁α∆T

کار تمام است و به رابطه موجود در متن سوال رسیدیم.    

A = 2A₁α∆T∆